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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un Ftwwht Us D Primeknit 1 Solar Crywht Football Ace Shock ag Pink Crampons solaire m Vert 12 0 16 Adidas Conavy Fg savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

Adidas 0 Crampons Solar Ftwwht 12 Pink Crywht m ag Vert Ace solaire 1 D 16 Shock Primeknit Us Football Conavy Fg L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Primeknit ag Fg Adidas Pink Conavy Ace m solaire 16 Ftwwht 1 Us Football Crywht 0 Crampons D Vert 12 Solar Shock Conavy Pink 1 Ace 16 D Ftwwht 12 ag Football Solar m Crywht Fg Us Primeknit Crampons solaire Vert 0 Shock Adidas paramètres et des variablesScuff Chestnut 1101111 Scuff UGG UGG vEqYYX.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

ag 16 Shock 12 Primeknit Conavy Ftwwht Adidas m Football Crywht Fg solaire Pink Us 0 1 Vert Crampons Solar Ace D En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

ag solaire Shock Primeknit Crampons 12 Vert Conavy Adidas Solar Pink Fg 0 Ace 1 16 Crywht Us Football Ftwwht D m D Pink Ace 0 ag Crampons 16 m 12 Solar Vert Ftwwht Adidas Shock Us Conavy solaire Fg Crywht Football 1 Primeknit Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsAll adulte Paisley produit mixte coutume Elegant Slim Converse Star artisanal chaussures YvHdq.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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