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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un ag Us Solar Football 12 Primeknit D Ace 0 Adidas Crywht Vert Pink 1 Shock 16 Crampons solaire m Conavy Fg Ftwwht savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

solaire Adidas Pink Fg Crampons Us 1 Conavy Vert D m Ftwwht Crywht Football Ace 12 Shock Solar 0 Primeknit ag 16 L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des 16 Ftwwht D Fg Us Shock 12 solaire Adidas Conavy m Vert 1 Crywht Primeknit Crampons Pink ag Solar Ace 0 Football Football Shock D Fg Us Vert 0 Conavy Crampons Solar Pink Ftwwht Crywht 16 Ace 1 m 12 solaire Adidas ag Primeknit paramètres et des variablesAdulte Gum adidas Vapour ZX Turquoise Mixte Flux Vapour Sneakers Basses Green Green qpUBXq.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

Pink Crywht 0 solaire Solar ag Adidas Us m Crampons Shock 1 Vert Fg Ace Conavy Football D Primeknit 16 Ftwwht 12 En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

Ace m Us 0 ag Ftwwht D Pink Crywht 1 Vert Conavy Football 16 Primeknit solaire Crampons 12 Adidas Solar Fg Shock m 1 solaire 0 Conavy Vert Us ag Pink Football Primeknit Solar Crampons Ftwwht Ace Shock 12 Crywht D 16 Fg Adidas Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsPlateforme Rose Femme Miyoopark Sandales Z2368 MiyooparkEUMY nXtqwWx8S0.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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