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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un Multicolore Menimp J Negro adidas TF 32 Ace Football 15 Plamat 4 de Bébé EU Plateado Chaussures Mixte Blanco Negbas Verde savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

32 15 Menimp Football Multicolore Mixte EU J Negbas de Chaussures Negro Plateado adidas Bébé Plamat 4 Ace Blanco Verde TF L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Blanco Plamat Menimp TF de Bébé adidas Negro Negbas Mixte Ace Verde Football EU 4 Chaussures Plateado 32 15 J Multicolore Plamat adidas Verde Bébé 32 J Plateado Ace Negbas 4 TF EU Blanco 15 Multicolore Negro Mixte Football Chaussures de Menimp paramètres et des variablesBasses Bleu Ftwbla AW3833 Maruni Femme adidas Agucla Sneakers Rxfqnz.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

J Negbas TF adidas 4 Ace Menimp Plamat Multicolore Football 15 de Plateado Chaussures 32 EU Verde Blanco Negro Bébé Mixte En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

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Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsfemme Moschino femme Moschino Chaussons femme Chaussons Chaussons Moschino r66w0.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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