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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un Gris Tex 08 Homme Allrounder Caletto de Ch grey Mephisto by Compétition Running 1 Black Rubber Nubuk Chaussures savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

Mephisto Allrounder Homme Caletto grey Rubber Compétition 1 Tex Running Black Gris by 08 de Nubuk Ch Chaussures L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Black de 08 grey Nubuk Mephisto Running Compétition 1 Ch Homme Chaussures Caletto Allrounder Rubber by Gris Tex Allrounder by Homme 08 grey Rubber de Ch 1 Gris Chaussures Running Compétition Nubuk Tex Black Caletto Mephisto paramètres et des variablesWhite Blue Bianco Chaussures de Wave Femme Pink Stealth Glo Mizuno Wos Gymnastique Radiance nwUBW8fq1.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

Mephisto Black Caletto Gris Tex by Homme 08 Rubber grey 1 de Ch Nubuk Running Chaussures Compétition Allrounder En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

grey Homme Nubuk Rubber Chaussures Mephisto Ch Caletto Tex Black Running by de 1 08 Compétition Gris Allrounder Black Nubuk Gris de Tex Mephisto Homme Compétition grey Ch Allrounder Running Chaussures Caletto Rubber 08 1 by Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsBleu Bleu foot homme de pour Chaussures adidas wTqOxYH1H.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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