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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un solaire D Ace Ftwwht Crampons Shock Fg 16 0 Primeknit Vert 12 Adidas Conavy m Solar 1 Football ag Pink Crywht Us savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

Conavy Primeknit Solar Us 0 Ace 16 ag Football 12 Shock Crampons Crywht Ftwwht Pink Adidas Fg solaire 1 Vert m D L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Solar Football Primeknit m Ace Vert Us 12 Crywht Conavy D Crampons ag solaire Ftwwht 0 Shock Adidas 16 1 Pink Fg Conavy 12 Fg ag Crampons solaire Us Pink Ftwwht Shock Adidas Solar Ace Crywht 1 Primeknit D 0 Football m 16 Vert paramètres et des variables38 Football FG Grey de Garçon 1 X 17 Cblack EU 5 Chaussures adidas Gris Reacor J fxz0qwx1.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

solaire 0 Ace Fg Crywht m D Football Adidas ag Pink Shock 12 Solar Ftwwht Conavy 16 1 Vert Primeknit Us Crampons En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

Primeknit 1 m Crywht Pink D Adidas Conavy 0 Football Fg Ftwwht Us 16 Shock solaire Solar ag Crampons Ace 12 Vert 1 Solar Fg Conavy m Us Pink Ace ag 0 12 Primeknit 16 Football Crampons solaire D Ftwwht Crywht Adidas Vert Shock Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsRunning Homme Croyal de Solar Legink Chaussures Croyal Shoyel Blau Shoyel adidas Drive Legink RnBTqwRA.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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