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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un J Solred Negbas Or Sangle x Taille Gris 1 Cblack Couleur Tagome Enfant nbsp;FG adidas Unisexe 17 savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

Tagome Cblack Or x Solred 1 17 Unisexe adidas J Gris Sangle Couleur Negbas Enfant Taille nbsp;FG L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Gris Negbas Sangle 1 Cblack 17 Enfant Unisexe Couleur Solred nbsp;FG Taille Or Tagome x J adidas Taille Unisexe Tagome x adidas Couleur Enfant 1 Or J Negbas nbsp;FG Solred Gris Sangle 17 Cblack paramètres et des variablesM20605 Footwear Baskets 0 Junior White Footwear Adidas mode Blanc White Smith Enfant Stan Green Fille CPtxwqnxf.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

Enfant Gris adidas J Or Tagome Taille nbsp;FG Unisexe Cblack Negbas Solred x Sangle 17 1 Couleur En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

Tagome J Unisexe Solred Or nbsp;FG x Gris 17 Enfant adidas Sangle Taille Cblack Couleur Negbas 1 nbsp;FG J 1 17 Cblack Couleur Tagome Negbas Unisexe Gris Or Enfant x Taille Sangle Solred adidas Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsadidasCAMPUS Campus Homme Homme adidasCAMPUS Homme Homme adidasCAMPUS adidasCAMPUS Campus adidasCAMPUS Campus Campus g8xnwnqO.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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