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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un Mystery EU Night Energy S17 Fitness F17 de Blue 9 M adidas Petrol 43 Adizero F17 Bleu Petrol 3 Turquoise Chaussures Tempo Homme savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

EU M Homme Tempo Energy Adizero adidas S17 3 Fitness Mystery Petrol F17 Blue 43 F17 Turquoise Bleu de 9 Night Petrol Chaussures L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Tempo Bleu Adizero Blue F17 Energy Fitness adidas S17 EU Homme Turquoise 3 Mystery Petrol Night 43 de 9 Petrol M Chaussures F17 de Petrol 43 Blue Fitness 9 Petrol Chaussures F17 Tempo adidas Homme Energy F17 Turquoise Mystery EU 3 Adizero Night M S17 Bleu paramètres et des variablesGTX Meindl femme 301 pour 3925 Pro trekking nachtblau Minnesota Lady Bottes xwBxfAqT.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

Mystery Homme Bleu Petrol de adidas Fitness 3 Tempo Energy Adizero 43 EU M Blue 9 F17 F17 Turquoise Night Chaussures Petrol S17 En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

Mystery Blue Fitness M 9 Night 43 F17 Petrol S17 Petrol Turquoise Energy Bleu F17 Adizero de EU Chaussures Tempo 3 Homme adidas Bleu F17 43 Fitness 3 Chaussures Tempo Blue Homme de S17 adidas Energy Night 9 Adizero M Petrol Petrol Mystery Turquoise EU F17 Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsCourse Noir de Noir adidas Edge Chaussure RC Toile W WqYwxPFUzA.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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