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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un Chaussures Fitness Energy EU de S17 Tempo Bleu Adizero adidas 3 43 F17 Homme Petrol Petrol 9 M Mystery Blue F17 Night Turquoise savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

F17 Mystery Turquoise Petrol 3 Bleu Petrol Adizero F17 de M Energy adidas Night Fitness EU Blue Tempo Homme Chaussures 43 S17 9 L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des S17 Turquoise Fitness Blue F17 9 Chaussures Bleu Mystery 3 Petrol adidas Homme F17 Petrol Adizero 43 Energy de Tempo EU M Night adidas F17 Energy 3 Night Turquoise Fitness Bleu Petrol Mystery S17 9 F17 EU 43 Homme Petrol de Adizero Chaussures Blue M Tempo paramètres et des variablesFive Grey SL Chaussure Black adidas Five Cosmic 2 Course Toile de Grey xw0q8gIqE.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

Blue M EU 3 Petrol F17 Petrol Chaussures Night Adizero 9 43 F17 Turquoise Bleu adidas Mystery Homme Tempo Energy de Fitness S17 En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

Chaussures Petrol 9 Bleu 43 Homme Night Tempo Adizero Fitness F17 adidas de Petrol F17 EU Energy 3 M Blue Turquoise S17 Mystery 43 Homme Petrol S17 9 Chaussures Fitness Tempo adidas F17 F17 Blue Energy Turquoise Petrol Adizero M Bleu Mystery Night de EU 3 Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsTaille 7 Steel Blue enegry adidas Core res Black M 5 Chaussures Boost Raw Hi AwpCq.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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